Теорема про складання швидкостей - одна з теорем кінематики , Пов'язує між собою швидкості матеріальної точки в різноманітних системах відліку . Стверджує, що при складному русі матеріальної точки її абсолютна швидкість дорівнює сумі відносної і переносної швидкостей [1] [2] .

рух в механіці завжди розглядається по відношенню до будь-якої системі відліку . Однак в деяких випадках буває доцільно або навіть необхідно вивчати рух матеріальної точки (МТ) щодо двох різних систем відліку одночасно. Одну з цих систем відліку умовно вважають нерухомою, базової, а іншу вважають, що рухається щодо першої. Тоді рух точки можна розглядати, як що складається з двох рухів: перше - рух щодо рухомій системи відліку, друге - рух разом з рухомої системою відносно нерухомої. Такий рух точки називають складним або складовим.

Умовно нерухому систему відліку прийнято називати абсолютною. Відповідно, абсолютними називають рух, переміщення , Швидкість і прискорення точки щодо цієї СО. На малюнку система відліку K обрана в якості абсолютної.

Умовно рухливу систему відліку прийнято називати відносною. Рух, переміщення, швидкість і прискорення точки відносно цієї системи також називають відносними. Система K 'на малюнку є відносною.

Рух, що здійснюється рухомий системою K 'і всіма жорстко пов'язаними з нею точками простору [3] щодо системи К, називають переносним. Якщо деяка МТ рухається щодо рухомої системи K ', то в загальному випадку та точка системи K', в якій в даний момент знаходиться МТ, також рухається відносно нерухомої системи К. Миттєву швидкість цієї точки системи K 'називають переносний швидкістю МТ.

Нехай МТ в певний момент часу перебувала в точці А, а через проміжок часу Δ t {\ displaystyle \ Delta t} виявилася в точці В (див. рис.). Тоді її переміщення щодо системи К (абсолютне переміщення) дорівнюватиме S → a {\ displaystyle {\ vec {S}} _ {a}} . Точка А рухомий системи K 'за час перемістилася разом з K' і виявилася в точці С, зробивши переміщення щодо системи К (переносне переміщення), зображене на малюнку вектором S → e {\ displaystyle {\ vec {S}} _ {e} } . З точки зору спостерігача, пов'язаного з системою K ', точка С є тією точкою, в якій МТ перебувала спочатку, тому вектор S → r {\ displaystyle {\ vec {S}} _ {r}} являє собою переміщення МТ щодо рухомої системи K ', тобто відносне переміщення. Зі сказаного і векторної діаграми на малюнку слід

S → a = S → e + S → r. {\ Displaystyle {\ vec {S}} _ {a} = {\ vec {S}} _ {e} + {\ vec {S}} _ {r}.}

Ділячи це рівність на проміжок часу Δ t {\ displaystyle \ Delta t} , А потім спрямовуючи його до нуля, в межі отримуємо

v → a = v → e + v → r, {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {a} = {\ vec {v}} _ {e} + {\ vec {v}} _ {r} ,}

де v → a {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {a}} - абсолютна, v → e {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {e}} - переносна, а v → r {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {r}} - відносна швидкість руху МТ.

Отримане рівність є математичним виразом теореми про складання швидкостей, яка формулюється так:

При складному русі абсолютна швидкість матеріальної точки дорівнює геометричній сумі переносний і відносній швидкостей.

Теорему про складання швидкостей називають також правилом паралелограма швидкостей [4] .

У загальному випадку рух системи K 'можна уявити як суму двох рухів: поступального руху зі швидкістю, що дорівнює швидкості початку координат системи K', і обертального руху навколо миттєвої осі, що проходить через це початок. Можна показати, що переносна швидкість v → e {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {e}} , Швидкість початку координат v → 0 {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {0}} і кутова швидкість обертального руху системи ω → {\ displaystyle {\ vec {\ omega}}} пов'язані співвідношенням [5]

v → e = v → 0 + [ω → × r '→]. {\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {e} = {\ vec {v}} _ {0} + [{\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {r '}}].}

З урахуванням цієї рівності математичний вираз теореми набуває вигляду

v → a = v → 0 + [ω → × r '→] + v → r. {\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {a} = {\ vec {v}} _ {0} + [{\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {r '}}] + {\ vec {v}} _ {r}.}

Затвердження теореми, доведене для двох систем відліку неважко узагальнити на випадок довільного їх кількості. Дійсно, припустимо, що вважалася нами досі нерухомою система До рухається щодо деякої третьої системи. Тоді для абсолютної швидкості v a '→ {\ displaystyle {\ vec {v' _ {a}}}} МТ в цій системі в силу доведеної теореми буде виконуватися

va '→ = ve' → + v → e + v → r, {\ displaystyle {\ vec {v '_ {a}}} = {\ vec {v' _ {e}}} + {\ vec {v }} _ {e} + {\ vec {v}} _ {r},}

де v e '→ {\ displaystyle {\ vec {v' _ {e}}}} - переносна швидкість точки системи К, в якій в даний момент часу знаходиться МТ, рух якої ми вивчаємо. Очевидно, що розмірковуючи аналогічним чином, можна отримати формулу складання швидкостей, придатну для будь-якої кількості систем відліку.

Затвердження теореми про складання швидкостей справедливо тільки до тих пір, поки швидкості, про які йде мова в теоремі, багато менше швидкості світла . В іншому випадку слід використовувати релятивістську формулу складання швидкостей .

Зауваження. Радіус-вектор r (t) {\ displaystyle r (t)} МТ в системі відліку До завжди можна представити у вигляді суми двох векторів:

r → (t) = R → (t) + r '→ (t), {\ displaystyle {\ vec {r}} (t) = {\ vec {R}} (t) + {\ vec {r' }} (t),}

де R → (t) {\ displaystyle {\ vec {R}} (t)} - радіус-вектор початку рухомої системи координат, а r '→ (t) {\ displaystyle {\ vec {r'}} (t)} - радіус-вектор МТ в рухомий системі K '. Після диференціювання з рівності слід

v → a = d R → (t) d t + d r '→ (t) d t. {\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {a} = {\ frac {d {\ vec {R}} (t)} {dt}} + {\ frac {d {\ vec {r '}} ( t)} {dt}}.}

Отримане співвідношення справедливо для будь-якої МТ і для будь-якого моменту часу. Слід, однак, мати на увазі, що в загальному випадку перший член суми не дорівнює переносний швидкості, а другий - не дорівнює відносній швидкості. Дійсно, d R → (t) d t {\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {R}} (t)} {dt}}} - це швидкість початку системи координат K 'v → 0 {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {0}} і при наявності обертання системи K 'не збігається зі швидкістю тієї точки системи, в якій в даний момент знаходиться МТ. У свою чергу d r '→ (t) d t {\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {r'}} (t)} {dt}}} є швидкість МТ щодо початку координат, тобто, визначається інакше, ніж відносна швидкість v → r {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {r}} . Рівності d R → (t) d t = v → e {\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {R}} (t)} {dt}} = {\ vec {v}} _ {e}} і d r '→ (t) d t = v → r {\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {r'}} (t)} {dt}} = {\ vec {v}} _ {r}} виконуються тільки в тих випадках, коли система K 'рухається поступально, тобто коли вона не робить поворотів (ω → = 0 {\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = 0} ) І всі її точки рухаються однаково [6] .

1. В системі відліку, пов'язаної з землею , Швидкість пасажира [7] , Що йде по коридору вагона, можна розглядати, як що складається з двох швидкостей. Перша з них - швидкість, з якою рухається точка вагона, в якій в даний момент знаходиться пасажир, - переносна швидкість, тобто швидкість, з якою вагон «переносить» пасажира. Другий доданок - швидкість руху пасажира щодо вагона. Якщо вагон рухається по заокругленню шляху, то напрямок абсолютної швидкості пасажира змінюється за рахунок зміни переносний швидкості.
2. Абсолютна швидкість мухи [8] , Що повзе по обертається грамофонної платівці , Дорівнює геометричній сумі швидкості її руху щодо пластинки і тієї швидкості, яку має точка пластинки під мухою щодо Землі - переносний швидкості.
3. Рух точки колеса (кола), що котиться по горизонтальній поверхні без прослизання, можна розглядати як складний рух, що складається з руху колеса в цілому зі швидкістю v {\ displaystyle v} і обертання точок колеса навколо його осі з кутовою швидкістю ω {\ displaystyle \ omega} . Тоді відповідно до теореми про складання швидкостей проекції абсолютної швидкості точки колеса на горизонтальну і вертикальну осі можна записати у вигляді

v x = vv cos ⁡ ω t {\ displaystyle v_ {x} = vv \ cos \ omega t} v y = v sin ⁡ ω t, {\ displaystyle v_ {y} = v \ sin \ omega t,} де R {\ displaystyle R} - радіус колеса. Після інтегрування і з урахуванням v = ω R {\ displaystyle v = \ omega R} з цих рівнянь випливає: x = ω R t - R sin ⁡ ω t {\ displaystyle x = \ omega Rt-R \ sin \ omega t} y = R - R cos ⁡ ω t. {\ Displaystyle y = RR \ cos \ omega t.} Отримані рівняння є параметричні рівняння циклоїди , Відповідно траєкторією руху точки колеса є циклоїда.

1. ↑ Тарг С. М. Короткий курс теоретичної механіки. - М.: Вища школа, 1995. - С. 156-158. - 416 с. - ISBN 5-06-003117-9 .
2. ↑ Бухгольц Н. Н. Основний курс теоретичної механіки / Видання шосте, перероблене і доповнене С. М. Таргом. - М.: «Наука» , 1965. - Т. 1. - С. 88-90.
3. ↑ Тобто точками, нерухомими відносно системи K '.
4. ↑ Кільчевський Н. А. Курс теоретичної механіки. - М.: «Наука», 1977. - Т. I. - С. 144.
5. ↑ Сивухин Д. В. Загальний курс фізики. - М.: Фізматліт , 2005. - Т. I. Механіка. - С. 362. - 560 с. - ISBN 5-9221-0225-7 .
6. ↑ Голубєв Ю. Ф. Основи теоретичної механіки. - М.: МГУ, 2000. - С. 119. - 720 с. - ISBN 5-211-04244-1 .
7. ↑ В даному випадку це абсолютна швидкість.
8. ↑ Швидкість щодо Землі.