1. Чому в центрі Землі тіла невагомі? Перш за все, спробуємо зрозуміти ідею барона: він стверджує, що...
2. Яку вагу має тіло, що знаходиться всередині сферичної оболонки?
3. Яку вагу має тіло, що знаходиться всередині кульового шару?
4. Точкова маса всередині однорідного кулі
5. Скільки часу займе спуск до нижнього поверху?

Чому в центрі Землі тіла невагомі?

Перш за все, спробуємо зрозуміти ідею барона: він стверджує, що в центрі Землі мешканець буде притягатися на всі боки однаково, і тому буде перебувати в стані невагомості. Щоб ця думка була більш зрозумілою, розглянемо ситуацію, коли точкова маса m знаходиться в центрі кільця, що складається з великого числа точкових мас M (рис. 6.1).

Ясно, що кожні дві протилежно що лежать маси M тягнуть мешканця в протилежні сторони з однаковими за величиною силами . Тому рівнодіюча всіх сил, прикладених до точкової масі m, дорівнює нулю.

В аналогічній ситуації буде мешканець, який перебуває в центрі Землі.

Чому ж Професор побоюється, що вага мешканця в центрі Землі буде нескінченно великою? Він просто згадав формулу закону всесвітнього тяжіння зі шкільного підручника: , Де m і M - маси тіл, а R - відстань між ними. Він вирішив, що оскільки в центрі Землі відстань між мешканцем і Землею дорівнює нулю, то виходить, що

Професор забув, що закон всесвітнього тяжіння справедливий тільки для точкових мас, тобто тіл, розмірами яких в умовах даного завдання можна знехтувати в порівнянні з відстанями між ними. Таке наближення, наприклад, цілком допустимо при розрахунках руху планет навколо Сонця, але в умовах нашої задачі вважати Землю точкової масою, звичайно ж, не можна!

Як буде змінюватися вага тіла в міру наближення до центру Землі?

Бізнесмен стверджує, що в міру занурення вглиб Землі вага тіла буде зростати, а барон, навпаки, судячи з наведеного на плакаті малюнку, вважає, що чим глибше під землею знаходиться мешканець, тим менше він важить. Хто ж з них має рацію? Мають рацію обидва! Дійсно, при зануренні на глибину до 2000 км, вага тіла зростає, при подальшому зануренні - убуває, і в центрі Землі стає рівним нулю!

Розберемося з цим питанням докладніше.

Яку вагу має тіло, що знаходиться всередині сферичної оболонки?

Нехай точкова маса m знаходиться в точці O 'всередині сферичної оболонки радіусом R (рис. 6.2) і нехай маса одиниці площі поверхні сфери дорівнює ρ.

Доведемо, що рівнодіюча всіх гравітаційних сил, що діють на точкову масу m з боку сфери, дорівнює нулю.

1. Побудуємо дві вузьких конічних поверхні з малим кутом розчину α і із загальною вершиною в точці O ', як показано на рис. 6.3. Ці конічні поверхні «виріжуть» на сфері шматочки поверхні, які можна наближено вважати плоскими, що цілком допустимо, якщо кут α дуже малий.

2. Площі вирізаних на сфері «шматочків» S1 і S2 пропорційні квадратах їх «діаметрів» - відрізків AB і CD. Нехай AB = k · CD, тоді S1 = k2 · S2, для мас вирізаних шматочків діє те ж саме співвідношення: m1 = k2 · m2

3. Розглянемо кути ABC і ADC. Вони рівні, як вписані в коло і спираються на загальну дугу АС, тому позначимо їх однією літерою φ.

4. Два кута (α і φ) трикутника O'AB рівні двом кутам трикутника O'DC, отже, ці трикутники подібні. З подоби трикутників випливає, що якщо R1, R2 - відстані від тіла до центрів мас відповідних шматочків сфери, то R1 = k · R2.

5. Знайдемо співвідношення сил, що діють на тіло масою m, що знаходиться в точці O ', з боку тел масами m1 і m2, які можна вважати точковими (оскільки їх розміри дуже малі).

Тобто F1 = F2, а значить, рівнодіюча цих сил дорівнює нулю.

6. Але ж всю поверхню сфери можна розбити на такі пари протилежно лежачих «шматочків», і кожна така пара дасть рівнодіюча, рівну нулю.

Це означає, що сумарна сила, що діє з боку сфери на точкову масу m, дорівнює нулю. Тобто сфера взагалі не діє на точкову масу, розташовану всередині неї, в якому б місці ця точкова маса не знаходилася (зовсім необов'язково, щоб вона перебувала в центрі сфери!).

Яку вагу має тіло, що знаходиться всередині кульового шару?

Тепер від тонкої сфери перейдемо до кульового шару кінцевої товщини. Нехай точкова маса m тепер знаходиться всередині кульового шару (рис 6.4).

Ясно, що кульової шар кінцевої товщини можна розбити на безліч дуже тонких концентричних кульових шарів дуже малої товщини - практично сфер. А кожна така сфера, як ми тільки що з'ясували, не робить впливу на розташовану всередині неї точкову масу. Стало бути, і кульової шар ніяк не діятиме на точкову масу, що знаходиться всередині нього.

Точкова маса всередині однорідного кулі

А тепер перейдемо до більш складному випадку: нехай точкова маса m знаходиться всередині однорідного кулі радіусом R і щільністю ρ на відстані r від центру кулі (рис. 6.5). Зовнішня для точкової маси частина кулі - зовнішній кульової шар, - як ми тільки що довели, на точкову масу діяти не буде, а внутрішня частина великої кулі (малий куля радіусом r) буде притягувати нашу точкову масу з силою , Де М = - маса малого кулі. Підставляючи значення М в формулу для F, отримаємо:

Тобто сила тяжіння прямо пропорційна відстані до центру кулі. Ясно, що якщо r = 0, то F = 0.

Значить, якби Земля була однорідним шаром, то вага тіла дійсно поступово зменшувався з глибиною, і барон Мюнхаузен був би абсолютно прав. Але насправді Земля не є однорідним шаром: її щільність з глибиною змінюється - а саме, збільшується.

При зануренні в шахту на величину сили тяжіння надають дію два фактори: з одного боку, зменшується відстань до центру Землі, тому сила тяжіння збільшується:

а з іншого боку, зменшується маса «малого» кулі, що знаходиться під занурювані тілом:

Питання в тому, який чинник надасть більший вплив на величину сили тяжіння. Розберемо два крайніх випадку.

1. Нехай кульової шар над точковою масою m (див. Рис. 6.5) має мізерно малу щільність (ρ → 0), тоді маса «малого» кулі радіусом r точно така ж, як і маса «великого» кулі радіусом R. Тоді сила тяжіння на відстані r R від центру буде явно більше сили тяжіння на відстані R від центру. Тобто в цьому випадку при зануренні в шахту сила тяжіння буде зростати.

2. Нехай нульову щільність має «малий» куля (див. Рис. 6.5), тобто вся маса зосереджена в кульовому шарі над точковою масою m. Тоді вже на відстані r від центру сила тяжіння буде дорівнює нулю:

Це означає, що при зануренні на глибину (R - r) величина сила тяжіння зменшилася від свого максимального значення до нуля.

Як ми вже говорили, Земля являє собою неоднорідний шар, причому щільність верхніх шарів значно менше, ніж щільність внутрішніх шарів. Тому при зануренні під землю приблизно до глибини 2000 км переважає перший ефект - сила тяжіння зростає: , А потім сила тяжіння починає спадати - переважає ефект зменшення маси «малого» кулі.

Скільки часу займе спуск до нижнього поверху?

Тепер відповімо нашому Інженеру, якого цікавить перш за все практична доцільність проекту: як довго мешканець перевернутого хмарочоса буде спускатися до своєї квартири, якщо він живе в самому центрі Землі?

Припустимо, що ліфт буде спочатку розганятися до якоїсь дуже пристойній швидкості (скажімо, 1 км / c), потім буде якийсь час рухатися з цією швидкістю, а в кінці шляху гальмувати. Тоді для того, щоб спуститися до центру Землі, буде потрібно час

(Це без урахування розгону і гальмування!) Терпимо, звичайно, але все-таки досить довго!

Набагато ефективніше було б надати ліфта можливість вільно падати на першій половині шляху, а на другий - гальмувати з таким же за величиною прискоренням.

Зробимо грубу оцінку часу спуску до центру Землі в цьому випадку. Будемо вважати, що середнє прискорення на ділянці від поверхні до глибини 3200 км дорівнює 10 м / c2. Тоді час, за яке ліфт подолає цю ділянку шляху, так само

Ясно, що такий же час потрібно на гальмування. Всього, стало бути, 800 + 800 = 1600 с ≈ 27 хвилин. Це вже цілком прийнятно!

Правда, при такому режимі руху першу половину шляху пасажири будуть перебувати в невагомості, а на другій половині вони будуть відчувати невеликі перевантаження. Але якщо в цьому будинку передбачається поселити, головним чином, космонавтів, то подібні щоденні тренування підуть їм тільки на користь!

На закінчення відзначимо ще одну трудність практичної реалізації проекту: будинок повинен бути абсолютно герметичним, по-перше, і дуже міцним, по-друге, так як атмосферний тиск у центрі Землі буде просто жахливим!

Парканом, яким буде тиск повітря в шахті глибиною «всього лише» 100 км. (Зауважимо, що найглибші сучасні свердловини не перевищують поки 12 км.) Будемо виходити з того, що на поверхні Землі атмосферний тиск дорівнює 100 000 Па, а щільність повітря дорівнює 1,29 кг / м3 і не змінюється з глибиною (насправді , щільність з глибиною, звичайно, зростає, тому наша оцінка буде заниженої).

Тоді шукане тиск дорівнюватиме:

p = pa + ρ gh ≈ 100000 Па + 1,29 кг / м3 · 9,8 м / c2 · 100000 м = 1364200 Па ≈ 13,6 атм.

Таке ж тиск під водою на глибині 136 м! Але ж мова поки йде тільки про глибину в 100 км, а центр Землі знаходиться на глибині 6400 км!

Про труднощі, пов'язаних з тим, що глибоко під Землею, м'яко скажемо, спекотно, ми поширюватися не будемо. Можливо, хтось запропонує принцип охолодження перевернутого хмарочоса?

далі: Проект 7. суперхмарочоса