1. Загальна вступна
2. 1d6
3. 2d6
4. 3d6
5. замість підсумків

настільних і кабінетних іграх для генерації випадкових чисел часто використовуються гральні кубики. Однак часто для розробки збалансованої гри потрібно отримати більш складні розподілу випадкових величин, ніж лінійне, що задається однієї гральної кісткою. Більш того, деколи потрібно задати розподіл в певних числових рамках і точно знати, наскільки ймовірним є випадання того чи іншого значення.

Щоб спростити собі розробку і балансування ігор в вищеописаних ситуаціях, я свого часу створив для себе невелику шпаргалку. Думаю, що така підказка може стати в нагоді як початківцям розробникам, так і активним гравцям. Тому в даній статті я поділюся своїми розрахунками, а так же методом, за допомогою якого можна вираховувати ймовірність для будь-яких комбінацій гральних кісток.

Загальна вступна

ля початку я б хотів трохи розкрити термінологію, яка буде використана в подальшому.

Історично склалося, що кидок гральної кістки позначається як XdY, де X - кількість кидків, а Y - число граней або інше маркування типу кістки. Наприклад 1d6 означає 1 кидок 6-гранного кубика. Буква d означає dice (мн. Ч. Від die - гральна кістка, кубик (англ.)). Закоренілі гравці так і називають ігрові кістки - Дайс. Втім, іноді зустрічається і російський варіант запису - 1к6. Особисто я вважаю за краще використовувати слово Дайс, оскільки «кубик» у мене строго асоціюється з 6-гранником :)

Відповідно, сам Дайс в такій системі позначається як dY. Так що якщо вам раптом зустрінеться запис виду d6, знайте, що це просто 6-гранний кубик. А запис 2d10 означає «результат двох кидків 10-гранного Дайса».

Джентльменський набір Дайс

Як d2 може використовуватися звичайна монета. Найбільш часто зустрічаються такі формати Дайс: d4, d6, d8, d10, d12, d20. Рідше можна зустріти d30. Особливі хитрощі дозволяють моделювати d100 за допомогою двох d10, проте найбільшого поширення набув, звичайно ж, d6.

У деяких старих комп'ютерних іграх можна зустріти такі цікаві позначення як 1d3 або 3d17. Природно, уявити собі 17-гранний кубик трохи проблематично, так що, по суті справи, це - своєрідний перехідний артефакт, коли комп'ютер вже дозволяв ставити випадковий розподіл в будь-якому діапазоні, але гравці за старою звичкою орієнтувалися по дайсовой схемою. В сучасних комп'ютерних іграх зазвичай вказаний розкид випадкових значень в форматі XY. Наприклад 15-85, що означає випадкове значення від 15 до 85.

Втім, нас зараз цікавлять Дайс, так що повернемося до них. Дайсовая форма запису має невелику перевагу над записом форми XY. Хоч по-суті 2d6 означає випадкову величину від 2 до 12, але в разі запису 2-12 нам невідомий графік розподілу між цими значеннями. Тобто ми не знаємо, чи однакова ймовірність випадання, наприклад 7 і 10. 2d6, в свою чергу, має на увазі не тільки кордон значень 2-12, а й певний порядок розподілу випадкових величин, про що і піде мова далі.

Залишилося додати, що для зміщення діапазону значень використовуються так звані модифікатори кидка. Фактично, це просто число, яке додається або віднімається з результату кидка. Записується це в формі XdY + Z, де Z - і є модифікатор. Наприклад, 1d6 + 3 означає 1 кидок 6-гранного кубика, до результату якого додається 3.

З позначеннями розібралися, можна рухатися далі.

1d6

Як піддослідний візьмемо знаменитий d6. При необхідності розрахунки для будь-яких інших варіантів (включаючи екзотичні d17) робляться без особливих труднощів за аналогією. Головне - зрозуміти принцип.

Спочатку проаналізуємо щільність ймовірностей для кидка 1d6.
Щільність ймовірностей в нашому випадку - це шанс випадання тих чи інших значень на кубику.

Очевидно що ймовірність кубика впасти на ту чи іншу грань, в разі коли у нас ідеально збалансований і не крапчастий кубик, назад-пропорційна кількості його граней. Для d6 вона, відповідно, становить 1/6 або 16,67%. Тобто будь-яка з 6 значень випадає з однаковою ймовірністю в 16,67%.

Часом дуже корисно буває знати наскільки ймовірним є викинути значення дорівнює чи перевищує якесь число. До речі, таке значення прийнято записувати як X +. Наприклад, 4+ означає «4 і більше». Втім, до позначення 18+ вже багато хто звик, так що освоїтися з таким записом не складає ніяких труднощів :)

Порахувати таку ймовірність досить просто. Досить підсумувати ймовірності всіх задовольняють нас результатів. Наприклад в разі 5+ для 1d6 нас цікавить сума шансів викинути 5 і 6. А це 1/6 + 1/6 = 1/3 або 16,67% + 16,67% = 33,33% (Всі процентні значення вказані з округленням. насправді 16,67% це 16,666666 ... ..6%. Тому не дивуйтеся тому, що іноді 7 + 7 = 13 :)).

Таким чином отримуємо такі графіки:

Якщо звести всі отримані дані в таблицю, то отримаємо:

Значення Імовірність значення Імовірність значення Імовірність 1 16,67% 1+ 100,00% 1 16,67% 2 16,67% 2+ 83,33% 2 33,33% 3 16,67% 3+ 66,67% 3 50,00% 4 16,67% 4+ 50,00% 4 66,67% 5 16,67% 5+ 33,33% 5 83,33% 6 16,67% 6 16,67% 6 100,00%

Нічого незвичайного. Для будь-якого одиничного кидка кубика з будь-якою кількістю граней ми будемо отримувати рівномірний лінійний розподіл. Але що буде, якщо ми будемо розглядати результат кількох кидків?

2d6

роаналізіруем щільність ймовірностей для 2d6. Для цього нам буде потрібно скласти матрицю, стовпці якої будуть результатами першого кидка, а рядки - другого.

Тепер нам потрібно вирахувати ймовірності всіх можливих результатів при двох кидках і записати їх в осередки матриці. Якщо ймовірність викинути на d6 1 дорівнює 1/6, то ймовірність отримати 1 і в другому кидку дорівнює 1/6 від 1/6, тобто 1/36 або 2,78%.

Таким чином в кожному осередку такої матриці отримуємо значення 2,78%

1 2 3 4 5 6 1 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2, 78% 2,78% 3 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 4 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2, 78% 2,78% 5 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 6 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2, 78% 2,78%

Однак якщо ми заповнимо ту ж саму матрицю значеннями, які виходять в сумі двох кидків, то отримаємо:

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

З таблиці видно, що до значення 2 від кидка 2d6 веде тільки 1 результат, коли обидва кидки показали 1. У той час як отримати 4 можна одним з трьох випадків: 3 і 1, 2 і 2, 1 і 3. Виходить, що ймовірність отримати 4 при кидку 2d6 дорівнює сумі ймовірностей 3 результатів, ймовірність кожного з яких дорівнює 2,78%. Отримуємо 2,78% + 2,78% + 2,78% = 8,33% (пам'ятаємо про округлення відсотків).

Якщо скласти таблицю ймовірності для всіх значень, отримаємо:

Значення Імовірність 2 2,78% 3 5,56% 4 8,33% 5 11,11% 6 13,89% 7 16,67% 8 13,89% 9 11,11% 10 8,33% 11 5, 56% 12 2,78%

У графічному поданні це виглядає так:

Зауважимо, що при обліку двох кидків ми отримуємо розподіл Гаусса (воно ж нормальний розподіл). Імовірність отримати в результаті двох кидків серединне значення (в нашому випадку це 7) значно вище, ніж вірогідність отримати крайні значення (2 або 12). Відповідно набагато частіше результати кидків для 2d6 будуть знаходиться серед значень 5-9 і рідко показувати 2-4 або 10-12. У деяких випадках від випадкової величини потрібно саме така поведінка.

Криві ймовірності викинути значення X + або X- так само будуть мати нелінійний вигляд:

Якщо уявити отримані дані в табличній формі, то:

Значення Імовірність значення Імовірність значення Імовірність 2 2,78% 2+ 100,00% 2 2,78% 3 5,56% 3+ 97,22% 3 8,33% 4 8,33% 4+ 91,67% 4 16,67% 5 11,11% 5+ 83,33% 5 27,78% 6 13,89% 6+ 72,22% 6 41,67% 7 16,67% 7 + 58,33 % 7- 58,33% 8 13,89% 8+ 41,67% 8- 72,22% 9 11,11% 9+ 27,78% 9- 83,33% 10 8,33% 10+ 16, 67% 10 91,67% 11 5,56% 11+ 8,33% 11- 97,22% 12 2,78% 12 2,78% 12- 100,00%

Виходить, що якщо ми хочемо отримати генератор випадкових чисел, який видає розподіл близьке до того, що зустрічається «в природі», то використання пари кубиків або облік двох кидків дає нам цю можливість.

Рівно як і запис 2d6 має перевагу над 2-12 якраз в тому, що вказує не лише на діапазон, а й на щільність ймовірностей.

Якщо ж нам потрібно отримати нормальний розподіл в проміжку від 0 до 10, то за допомогою Дайс це можна організувати як кидок 2d6 з результату якого будемо віднімати 2. Згадуючи описані раніше позначення, це 2d6-2.

Якщо така зміна в графіку сталася коли ми додали другий кидок, то що станеться, якщо ввести третій?

3d6

ля аналізу щільності ймовірностей для 3d6 можна, звичайно скласти 3-х мірну матрицю і порахувати всі точь-в-точь як для 2d6. Але оскільки ймовірності для 2d6 нам уже відомі, то ми можемо значно спростити собі задачу:

2d6 1 2 3 4 5 6 2 2,78% 3 5,56% 4 8,33% 5 11,11% 6 13,89% 7 16,67% 8 13,89% 9 11,11% 10 8, 33% 11 5,56% 12 2,78%

Помноживши ймовірності результатів для 2d6 на 16,67% отримаємо вірогідність результатів для 3-х кидків:

2d6 1 2 3 4 5 6 2 2,78% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46% 3 5,56% 0,93% 0,93% 0 , 93% 0,93% 0,93% 0,93% 4 8,33% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39% 5 11,11% 1 , 85% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85% 6 13,89% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31% 2,31% 2, 31% 7 16,67% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 2,78% 8 13,89% 2,31% 2,31% 2,31% 2, 31% 2,31% 2,31% 9 11,11% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85% 1,85% 10 8,33% 1,39% 1, 39% 1,39% 1,39% 1,39% 1,39% 11 5,56% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93% 0,93% 12 2, 78% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46% 0,46%

Ну а підсумувавши результати з однаковим результатом, отримаємо щільності ймовірностей:

Значення Імовірність 3 0,46% 4 1,39% 5 2,78% 6 4,63% 7 6,94% 8 9,72% 9 11,57% 10 12,50% 11 12,50% 12 11, 57% 13 9,72% 14 6,94% 15 4,63% 16 2,78% 17 1,39% 18 0,46%

Графічно це виглядає так:

Графіки ймовірностей для X + і X- теж мають більш виражені контури нормального розподілу:

Підсумкова таблиця для 3d6 буде виглядати так:

Значення Імовірність значення Імовірність значення Імовірність 3 0,46% 3+ 100,00% 3 0,46% 4 1,39% 4+ 99,54% 4 1,85% 5 2,78% 5+ 98,15% 5 4,63% 6 4,63% 6+ 95,37% 6 9,26% 7 6,94% 7 + 90,74% 7- 16,20% 8 9,72% 8+ 83,80 % 8- 25,93% 9 11,57% 9+ 74,07% 9- 37,50% 10 12,50% 10+ 62,50% 10- 50,00% 11 12,50% 11+ 50, 00% 11- 62,50% 12 11,57% 12 37,50% 12- 74,07% 13 9,72% 13+ 25,93% 13- 83,80% 14 6,94% 14+ 16, 20% 14- 90,74% 15 4,63% 15+ 9,26% 15- 95,37% 16 2,78% 16+ 4,63% 16- 98,15% 17 1,39% 17+ 1 , 85% 17- 99,54% 18 0,46% 18 0,46% 18- 100,00%

З отриманих результатів видно, що зі збільшенням кількості кидків до 3 «дзвін Гаусса» не тільки зберігається, але і ставати більш вираженим. Забігаючи вперед скажу що і для всіх наступних підвищень кількості кидків (4d6, 5d6, 6d6 ...) ця тенденція зберігається.

замість підсумків

олучение таблиці можна використовувати для балансування імовірнісних значень в розроблюваних іграх. Рівне як можна за допомогою даних розрахунків більш точно оцінювати свої шанси на вихід кидка під час гри.

Продемонстрований метод можна застосовувати для отримання таблиць до будь-якої кількості кидків будь-яких Дайс.

До речі, за допомогою різноманітних Дайс можна задавати досить великий діапазон випадкових значень. Наприклад 2d6 + 1d4 дасть нормальний розподіл в діапазоні 3-16. А за допомогою двох d10 можна задати лінійний розподіл 0-99, для цього один кубик повинен відповідати за десятки, інший - за одиниці. Таку комбінацію двох d10 називають «процентніком».

Сподіваюся, ці таблиці будуть Вам корисні.

Юрій Ісаєв
2015.07.27