1. Рейтинг Публікації:

Коливальні і хвильові процеси вельми часто зустрічаються в навколишньому нас природі і техніці. Значна частина механічних рухів, рух періодично працюючих машин, майже всі акустичні явища, змінний струм, що застосовується в побуті і в різноманітних технічних пристроях, радіотехніка та частина електроніки, вся хвильова оптика, хвильові властивості частинок - ось далеко не повний перелік явищ і технічних додатків, пов'язаних з коливаннями і хвилями.

До основних характеристик цих коливань відносяться: A - амплітуда, (kt + 0) - фаза, k - кругова частота, 2 / K = T - період, 1 / T = - частота. Остання вимірюється в герцах. Так називається одиниця частот коливань, що дорівнює одному коливанню в секунду. Величина A 0 називається центром гармонійних коливань. Вона показує середнє значення змінної з безлічі тих значень, які остання приймає в процесі гармонічних коливань.

Розглянемо найпростіші випадки, коли при відсутності опору і яких би то не було обурень спостерігаються гармонійні коливання. Складемо диференціальне рівняння другого порядку, рішення якого описує гармонійні коливання. Іншими словами, знайдемо таке диференціальне рівняння другого порядку, рішенням якого є функція виду

де A, k, 0 - постійні величини. Тут для спрощення прийнято A 0 = 0. Продифференцируем цю функцію двічі по часу. отримаємо

звідки

Величина k, що дорівнює кореню квадратному з коефіцієнта при функції в розглянутому диференціальному рівнянні, називається власною частотою гармонічного осцилятора. Остання вимірюється в рад / с і є круговою частотою. Для обчислення частоти коливань n за відомою круговій частоті k необхідно поділити її на 2 радий.

Приклад 1. Розглянемо рух математичного маятника. Так називається точковий вантаж, підвішений до стійки за допомогою нерастяжимой нитки (рис. 1.38).

Скористаємося основним рівнянням динаміки для невільної матеріальної точки. В даному випадку воно має вигляд

де G - сила тяжіння, R - реакція нитки.

Спроектувавши обидві частини цього рівняння на дотичну до траєкторії, отримаємо

звідки з урахуванням рівності: a = l = l - знайдемо

де l - довжина нитки маятника, g - прискорення вільно падаючої матеріальної точки.

Отримане рівняння відрізняється від диференціального рівняння (1): останнім координата входить лінійним чином, а в рівняння (2) - нелінійно. Диференціальне рівняння (2), на відміну від рівняння (1) є нелінійним.

Для того, щоб математичний маятник можна було розглядати як гармонійний осцилятор, обмежимося випадком коливань, при яких кут не перевищує величин, які відповідають з певним ступенем точності рівності: sin . Похибка цього рівності не перевищує 0,1%, якщо | | <= 4,4o і 1% якщо | | <= 14o.

Коливання, які задовольняють зазначеному умові, називаються малими. Замінивши в рівнянні (2) sin на , отримаємо

Це диференціальне рівняння з точністю до позначень збігається з рівнянням (1). Отже, математичний маятник, що здійснює малі коливання, є гармонійним осцилятором. Власна частота цього осцилятора k дорівнює кореню квадратному з відношення прискорення g до довжини маятника l.

Математичний маятник використовується на практиці, зокрема, для вимірювання прискорення вільно падаючої матеріальної точки в даному місці земної кулі. Досить поспостерігати маліколивання математичного маятника і заміряти період коливань T. Так як останній пов'язаний з частотою коливань k рівністю T = 2 k -1, то шукану величину можна обчислити за формулою

Якщо тертя в опорах мало, то диференціальне рівняння руху фізичного маятника можна записати у формі

де J z - момент інерції тіла відносно осі обертання 0z; M z (G) - момент сили G щодо осі 0z; - кутове прискорення, = '.

Якщо коливання фізичного маятника малі за величиною, то момент сили G щодо осі 0z можна висловити рівністю

де m - маса тіла, g - прискорення вільно падаючої матеріальної точки, | OC | - відстань між віссю підвісу і центром тяжіння тіла.

З урахуванням цієї рівності диференціальне рівняння малих коливань фізичного маятника запишеться у вигляді

Порівнюючи отримане диференціальне рівняння з рівнянням (1), робимо висновок, що фізичний маятник, що здійснює малі коливання, можна вважати гармонійним осцилятором. Власна частота цього осцилятора k залежить від моменту інерції тіла, його маси і відстані між віссю підвісу і центром тяжіння тіла.

Теорія фізичного маятника використовується на практиці для експериментального визначення моментів інерції тіл відносно осі. Для цього достатньо поспостерігати маліколивання тіла, підвішеного на горизонтальній осі, і заміряти період цих коливань T. Так як останній пов'язаний з частотою k рівністю T = 2 k -1, то шукану величину можна обчислити за формулою

Для складання диференціального рівняння руху вантажу виберемо систему відліку, у якій вісь Ox направлена вертикально вниз. Початок відліку O сумісний з положенням центра ваги вантажу С при його статичному положенні (ріс.1.40, а). Позначимо подовження пружини при статичному положенні вантажу через D (ріс.1.40, б). Зобразимо довільне положення вантажу і покажемо сили, прикладені до нього (рис.3, в), а саме силу тяжіння G і силу пружності пружини F. Остання виражається формулою: F = - с ( + X) i. Складемо динамічне рівняння поступального руху вантажу. отримаємо

Твір з D висловлює силу пружності пружини при статичному положенні вантажу. Вона врівноважується силою тяжіння. Отже, має місце рівність: G - з = 0. З урахуванням його останнє рівняння перепишемо у вигляді

Порівнюючи отримане диференціальне рівняння з рівнянням (1), робимо висновок, що вантаж, укріплений на пружині і здійснює малі коливання уздовж осі пружини, є гармонійним осцилятором. Власна частота цього осцилятора k дорівнює кореню квадратному з відношення жорсткості пружини з до маси вантажу m.

Описана в цьому прикладі теорія використовується, наприклад, в приладі для вимірювання маси космонавтів в невагомості. У процесі такого виміру людина розміщується на платформі, встановленої в космічному літальному апараті на гвинтовий пружині. Його разом з платформою виводять з положення рівноваги і визначають період виникають при цьому вільних коливань. Обчислюючи потім кругову частоту цих коливань і знаючи жорсткість пружини за формулою (5) знаходять масу космонавта.

Приклад 4. Розглянемо електричний замкнутий контур, що складається з послідовно з'єднаних індуктивності і ємності (рис.4). Згідно з другим правилом Кірхгофа * алгебраїчна сума падінь напруги на елементах замкнутого контуру дорівнює нулю, і рівняння, що описує процес в розглянутій ланцюга, як можна показати, має вигляд:

L d i / d t + 1 / С i d t = 0, (6) де L - індуктивність, C - ємність, i - струм в ланцюзі.

Так як струм пов'язаний з зарядом на обкладинках конденсатора рівністю i = q ', то

i d t = q.

З урахуванням цієї рівності перепишемо рівняння (6) у формі

q "+ k2 q = 0, де k = (7)

Це рівняння з точністю до позначень збігається з диференціальним рівнянням (1). Отже, замкнутий контур, що складається з послідовно з'єднаних індуктивності і ємності, також є гармонійним осцилятором, але тільки електричним. При початкових умовах, відмінних від нуля, він веде себе так само, як і будь-який механічний осцилятор, виведений з положення рівноваги. Однією з умов виникнення коливань в розглянутому контурі є початковий заряд на обкладинках конденсатора.

Ідея збігу з точністю до позначень рівняння виду (7) з іншими отриманими тут рівняннями використовується при дослідженні систем самої різної природи шляхом їх моделювання за допомогою так званих аналогових обчислювальних машин.

З розглянутих прикладів видно, що гармонійний осцилятор є вельми простий моделлю реально існуючих і широко поширених об'єктів. Одним з основних властивостей, притаманних усім гармонійним осцилляторам, є наявність такого впливу, яке прагне повернути осцилятор в положення рівноваги. В якості такого впливу в математичному і фізичному маятниках виступає дію Землі, а в системі, що складається з вантажу і пружини, - дія пружини.

Cіли, прикладені до осцилляторам при зазначених діях на них, називаються відновлюють. Облік відновлюють сил в диференціальних рівняннях руху гармонійних осциляторів призводить до появи в їх лівих частинах доданків виду + k 2 , Де k 2 - постійний коефіцієнт, - величина (в окремому випадку, координата), що визначає положення осцилятора.

З точки зору динаміки, коливання, які відбуваються тільки за рахунок відновлюють сил (або відновлюють е.р.с.) і виникають тільки за рахунок початкового відхилення об'єкта від положення рівноваги або за рахунок початкового заряду і т. П., Називаються вільними коливаннями.

Вище були розглянуті приклади, в яких опір руху і електричного струму не враховувався. Зрозуміло, що це чисто гіпотетичні, ідеальні умови. При відсутності опору вільні коливання є незатухающими. У реальних же умовах, при наявності опору, вони з часом загасають, і тому називаються затухаючими.

Крім вільних (незатухаючих і затухаючих) коливань розрізняють коливання вимушені і параметричні, а також автоколивання.

Вимушені коливання виникають за рахунок дії періодичних зовнішніх збурень, наприклад, вимушених коливань, яка додається до механічного осцилятора, або періодичної е.р.с., яка додається до замкнутого електричного контуру. При цьому, якщо частота збурень дуже близька до власної частоти осцилятора, то настає так званий резонанс: амплітуда вимушених коливань стає надзвичайно великий.

Параметричні коливання осцилятора виникають за рахунок періодичного зміни величини будь-якого з його параметрів, наприклад, довжини математичного маятника, індуктивності або ємності коливального контуру. Параметричні коливання виникають тільки при певному співвідношенні між частотою зміни параметра і власною частотою осцилятора. Найбільш сприятливою умовою для параметричного збудження коливань є рівність частоти зміни параметра подвоєною власній частоті осцилятора.

Автоколебания виникають і підтримуються за рахунок наявності у осцилятора активного елементу, восполняющего неминучі в реально хиткому осцилляторе втрати енергії.

Приклад осцилятора, що здійснює автоколивання, показаний на рис. 5. Він являє собою дротяну спіраль, підвішену до стійки. Інший кінець спіралі занурений в чашечку з ртуттю. Спіраль підключена до джерела постійної ЕРС Електромагнітні сили, що виникають між витками при протіканні струму, викликають стиснення спіралі. При цьому її контакт зі ртуттю розривається, ток припиняється, і спіраль знову розтягується. Це призводить до відновлення електричного контакту, і все повторюється - спостерігаються незгасаючі коливання.

Частота цих коливань визначається властивостями спіралі. Джерело ЕРС, зовнішній по відношенню до осцилятора, працює лише протягом невеликої частки періоду коливань. Істотно, що в початковий момент осцилятор знаходиться в рівновазі, але контакт з ртуттю при цьому обов'язково повинен бути.

Деяка схожість з коливаннями мають хвилі. Останні являють собою обурення в тілі або середовищі, при яких відбувається перенесення енергії без перенесення речовини. Хвилі пов'язані зі зміною форми, при якому форма переміщається, але не переміщається середу. Наприклад, рухаються хвилі води, причому вода здіймається і опускається, а хвилі розходяться колами, які не несучи воду далеко за собою. У цьому неважко переконатися, поспостерігавши за рухом вгору і вниз плаваючого на воді шматка пробки або поплавка при наявності хвилювання поверхні води. Поширення звуку пов'язане з хвилями в повітрі. Радіозв'язок, радіолокація і радіонавігація засновані на використанні електромагнітних хвиль.

Швидкість поширення хвилі V - це швидкість, з якою переміщається її форма, т. Е. Швидкість переміщення будь-якої ділянки хвилі, будь то гребінь, або западина, або область стиснення (в акустичної хвилі).

Уздовж натягнутою мотузки можуть переміщатися з певною швидкістю поперечні хвилі. При цьому якщо кінець мотузки здійснює гармонійне рух, то спостерігається гармонійна хвиля (рис. 5).

Відстань від гребеня до гребеня хвилі або від западини до западини, т. Е. Відстань між будь-якою парою точок, в яких стан середовища знаходиться в одній і тій же стадії (фазі) циклу змін, називається довжиною хвилі. Іншими словами, довжина хвилі - це відстань, через яке її конфігурація повторюється.

Проміжок часу, за який щодо нерухомого спостерігача хвиля переміщається на відстань, рівну її довжині, називається періодом, а величина, зворотна періоду, називається частотою хвилі. Так само, як і у гармонійних коливань, частота хвилі вимірюється в герцах. Позначаючи частоту коливань f, а період Т, маємо f = 1 / T.

Ще однією характеристикою хвилі є її швидкість. Вона показує відстань, яке проходить обраний гребінь за одну секунду (по мотузці або в іншому середовищі). Очевидно, швидкість хвилі V пов'язана з її довжиною l формулою

V = f .

Ділянка середовища, обурений хвилею, викликає обурення наступного за ним ділянки і приводить його в рух. Як приклад на рис. 7 показані послідовні стадії поширення хвилі по веревке.В стадії a ділянку мотузки В рухається вгору; в стадії б, через якийсь час, хвиля перемістилася вперед, і точка В знаходиться ще вище. Таким чином, в стадії а точка В повинна рухатися вгору, і як видно з малюнка, продовжує рухатися вгору і в стадії б, але не так швидко. Що ж стосується ділянки мотузки А, то в стадії а він досяг максимального "зміщення" і не рухається. Точка С не має зміщення, але швидко рухається вгору. Зрозуміло, що слід розрізняти швидкості точок середовища при хвилюванні і швидкість хвилі. З цієї точки зору коливання мотузки, показує на малюнку, називають поперечними. На відміну від них звукові хвилі є поздовжніми: зміщення форми звукових хвиль відбувається в напрямку їх поширення, а не в поперечному напрямку.

Цікава властивість виявляють хвилі при проходженні через вузьку щілину в перешкоді. Наприклад, хвилі на поверхні води, проходячи через широкий зазор (в якому укладається багато довжин хвиль), продовжують поширюватися в колишньому напрямі, а з боків вода залишається спокійною. Якщо зазор вузький, то кут, в якому хвиля поширюється після проходження зазору, прагне розширитися. При дуже вузькому зазорі це розширення стає максимальним: хвиля поширюється в усіх напрямках в передній півплощині. При цьому, підійшовши до перешкоді, хвилі змушують коливатися воду в зазорі, породжуючи кругову брижі і створюючи хвилі в усіх напрямках. Цей ефект поширення

Мал. 1.44. Дифракція хвиль, що проходять через широкий зазорволн при проходженні через щілину в перешкоді, або обгинанні хвилями перешкод, називається дифракцією.

Ще однією властивістю хвиль є інтерференція. Вона полягає в тому, що при накладенні в якій-небудь області двох цугов хвиль вироблені ними ефекти складаються. Припустимо, що є два джерела S1 і S2, що випускають хвилі в такт один з одним. Наприклад, такі джерела можна отримати, висвітлюючи будь-яким джерелом світла дві вузькі щілини або два отвори, розташовані поруч. При цьому відбувається дифракція світла, і від кожного отвору розходяться однакові хвилі, що йдуть в такт один з одним.

Мал. 1.46. Дифракція хвиль, що проходять через дуже вузький зазор

Припустимо, що вони досягають распложение на деякій відстані від перешкоди екрану. До точки Р екрану (рис. 1.47, а) обидва цуга хвиль проходять однакові відстані і досягають її в однаковій фазі. При цьому вироблені ними ефекти збігаються: горб однієї хвилі накладається на горб інший, западина на западину і т. Д. В результаті в точці Р спостерігається світла смуга.

Припустимо, що до точки Q один цуг хвилі проходить відстань, більшу, ніж інший, на половину довжини хвилі l. У цій точці вироблені одним цугом ефекти горб - западина - горб і т. Д. Накладаються на ефекти, вироблені іншим цугом і представляють відповідно послідовність: западина - горб - западина і т. Д.

Ріс.1.47. Інтерференція хвиль, отриманих від одного джерела за рахунок дифракції

Тому в точці Q результуючий ефект дорівнює нулю. У цих та інших точках у всіх випадках хвилі не знищують один одного, а складаються алгебраїчно, і вироблені ними ефекти або посилюються (горб + горб = горб), або взаємно знищуються (горб + западина = нуль).

de.ifmo.ru

Рейтинг Публікації:

Коментарі (0) | Роздрукувати

Додати новину в: