Логічні основи ЕОМ, елементи і вузли

Алгебра логіки (булева алгебра) - це розділ математики, який виник в XIX столітті завдяки зусиллям англійського математика Дж. Буля. Спочатку булева алгебра не мала ніякого практичного значення. Однак уже XX столітті її положення знайшли застосування в описі функціонування і розробці різних електронних схем. Закони та апарат алгебри логіки став використовуватися при проектуванні різних частин комп'ютерів (пам'ять, процесор). Хоча це не єдина сфера застосування даної науки.

Що ж собою являє алгебра логіки? По-перше, вона вивчає методи встановлення істинності чи хибності складних логічних висловлювань за допомогою алгебраїчних методів. По-друге, булева алгебра робить це таким чином, що складне логічне висловлювання описується функцією, результатом обчислення якої може бути або істина, або брехня (1, або 0). При цьому аргументи функції (прості висловлювання) також можуть мати тільки два значення: 0, або 1.

Що таке просте логічне висловлювання? Це фрази типу «два більше одного», «5.8 є цілим числом». У першому випадку ми маємо істину, а в другому брехня. Алгебра логіки не стосується суті цих висловлювань. Якщо хтось вирішить, що висловлювання «Земля квадратна» істинно, то алгебра логіки це прийме як факт. Справа в тому, що булева алгебра займається обчисленнями результату складних логічних висловлювань на основі заздалегідь відомих значень простих висловлювань.

Логічні операції. Диз'юнкція, кон'юнкція і заперечення

Так як же зв'язуються між собою прості логічні висловлювання, утворюючи складні? У природній мові ми використовуємо різні союзи і інші частини мови. Наприклад, «і», «або», «або», «не», «якщо», «то», «тоді». Приклад складних висловлювань: «у нього є знання і навички», «вона приїде у вівторок, або в середу», «я буду грати тоді, коли зроблю уроки», «5 не дорівнює 6». Як ми вирішуємо, що нам сказали правду чи ні? Якось логічно, навіть десь несвідомо, виходячи з попереднього життєвого досвіду, ми розуміє, що правда при союзі «і» настає в разі правдивості обох простих висловлювань. Варто одному стати брехнею і все складне висловлювання буде брехливо. А ось, при зв'язці «або» має бути правдою тільки одне просте висловлювання, і тоді все вираз стане справжнім.

Булева алгебра переклала цей життєвий досвід на апарат математики, формалізувала його, ввела жорсткі правила отримання однозначного результату. Союзи стали називатися тут логічними операторами.

Алгебра логіки передбачає безліч логічних операцій. Однак три з них заслуговують на особливу увагу, тому що з їх допомогою можна описати всі інші, і, отже, використовувати менше різноманітних пристроїв при конструюванні схем. Такими операціями є кон'юнкція (І), диз'юнкція (АБО) і заперечення (НЕ). Часто кон'юнкцію позначають &, ᴧ, диз'юнкцію - || , V а заперечення - рисою над змінної, що позначає висловлювання.

Функція кон'юнкції істин (логічного множення) на тоді, коли істинні одночасно обидва висловлювання.

$ IMAGE1 $

Диз'юнкція. Читається X1 АБО X2: часто цей вислів називають логічним складанням. Функція диз'юнкції істинна тоді, коли хоча б одне з висловлювань істинно.

Логічне заперечення - інверсія. Інверсія - це висловлювання, яке істинно, якщо вихідне висловлення помилкове; і, навпаки, помилково, якщо оригінал висловлювання істинно.

таблиці істинності

Логічні операції зручно описувати так званими таблицями істинності, в яких відображають результати обчислень складних висловлювань при різних значеннях вихідних простих висловлювань. Прості висловлювання позначаються змінними (наприклад, A і B).

Логічні основи комп'ютера

У ЕОМ використовуються різні пристрої, роботу яких прекрасно описує алгебра логіки. До таких пристроїв відносяться групи перемикачів, тригери, суматори.

Крім того, зв'язок між булевої алгеброю і комп'ютерами лежить і в використовуваної в ЕОМ системі числення. Як відомо вона двоичная. Тому в пристроях комп'ютера можна зберігати і перетворювати як числа, так і значення логічних змінних.

переключательние схеми

У ЕОМ застосовуються електричні схеми, що складаються з безлічі перемикачів. Перемикач може перебувати тільки в двох станах: замкнутому і розімкнутому. У першому випадку - струм проходить, у другому - немає. Описувати роботу таких схем дуже зручно за допомогою алгебри логіки. Залежно від положення перемикачів можна отримати або не одержати сигнали на виходах.

вентилі

В основі побудови комп'ютерів, а точніше апаратного забезпечення, лежать так звані вентилі. Вони являють собою досить прості елементи, які можна комбінувати між собою, створюючи тим самим різні схеми. Одні схеми підходять для здійснення арифметичних операцій, а на основі інших будують різну пам'ять ЕОМ.

Найпростіший вентиль є транзисторний інвертор, який перетворює низьку напругу в високе або навпаки (висока в низьке). Це можна уявити як перетворення логічного нуля в логічну одиницю або навпаки. тобто отримуємо вентиль НЕ.

Поєднавши пару транзисторів різним способом, отримують вентилі АБО-НЕ і І-НЕ. Ці вентилі приймають уже не один, а два і більше вхідних сигналу. Вихідний сигнал завжди один і залежить (видає високу або низьку напругу) від вхідних сигналів. У разі вентиля АБО-НЕ отримати високу напругу (логічну одиницю) можна тільки за умови низького напрузі на всіх входах. У разі вентиля І-НЕ все навпаки: логічна одиниця виходить, якщо все вхідні сигнали будуть нульовими. Як видно, це назад таким звичним логічним операціям як І і АБО. Однак зазвичай використовуються вентилі І-НЕ і АБО-НЕ, тому що їх реалізація простіше: І-НЕ і АБО-НЕ реалізуються двома транзисторами, тоді як логічні І і АБО трьома.

Вихідний сигнал вентиля можна висловлювати як функцію від вхідних.

Транзисторові потрібно дуже мало часу для перемикання з одного стану в інший (час перемикання оцінюється в наносекундах). І в цьому одна з істотних переваг схем, побудованих на їх основі.

Суматор і полусумматор

Арифметико-логічний пристрій процесора (АЛУ) обов'язково містить в своєму складі такі елементи як суматори. Ці схеми дозволяють складати виконавчі числа.

Як відбувається складання? Припустимо, потрібно скласти двійкові числа 1001 і 0011. Спочатку складаємо молодші розряди (останні цифри): 1 + 1 = 10. Тобто в молодшому розряді буде 0, а одиниця - це перенесення в старший розряд. Далі: 0 + 1 + 1 (від перенесення) = 10, тобто в даному розряді знову запишеться 0, а одиниця піде в старший розряд. На третьому кроці: 0 + 0 + 1 (від перенесення) = 1. В результаті сума дорівнює 1100.

полусумматор

Тепер не будемо звертати увагу на перенесення з попереднього розряду і розглянемо тільки, як формується сума поточного розряду. Якщо були дані дві одиниці або два нуля, то сума поточного розряду дорівнює 0. Якщо одне з двох доданків дорівнює одиниці, то сума дорівнює одиниці. Отримати такі результати можна при використанні вентиля виключає АБО.

Перенесення одиниці в наступний розряд відбувається, якщо два доданків дорівнюють одиниці. І це піддається реалізації вентилем І.

Тоді додавання в межах одного розряду (без урахування можливого прийшла одиниці з молодшого розряду) можна реалізувати зображеної нижче схемою, яка називається полусумматора. У полусумматора два входи (для доданків) і два виходи (для суми і перенесення). На схемі зображено полусумматор, що складається з вентилів виключає Або і І.

суматор

На відміну від полусумматора суматор враховує перенесення з попереднього розряду, тому має не два, а три входи.

Щоб врахувати перенесення доводиться схему ускладнювати. По-суті вона виходить, що складається з двох полусумматора.

Розглянемо один з випадків. Потрібно скласти 0 і 1, а також 1 з перенесення. Спочатку визначаємо суму поточного розряду. Судячи з лівої схемою виключає Або, куди входять a і b, на виході отримуємо одиницю. Наступної виключає Або вже входять дві одиниці. Отже, сума буде дорівнює 0.

Тепер дивимося, що відбувається з переносом. В один вентиль І входять 0 і 1 (a і b). Отримуємо 0. У другій вентиль (правіше) заходять дві одиниці, що дає 1. Прохід через вентиль АБО нуля від першого І та одиниці від другого І дає нам 1.

Перевіримо роботу схеми простим додаванням 0 + 1 + 1 = 10. Тобто 0 залишається в поточному розряді, і одиниця переходить в старший. Отже, логічна схема працює правильно.

Роботу даної схеми при всіх можливих вхідних значеннях можна описати наступною таблицею істинності.

Тригер як елемент пам'яті. Схема RS-тригера

Пам'ять (пристрій, призначений для зберігання даних і команд) є важливою частиною комп'ютера. Можна сказати, що вона його і визначає: якщо обчислювальний пристрій не має пам'яті, то воно вже не комп'ютер.

Елементарною одиницею комп'ютерної пам'яті є біт. Тому потрібно пристрій, здатний перебувати в двох станах, тобто зберігати одиницю або нуль. Також цей пристрій має вміти швидко переключатися з одного стану в інший під зовнішнім впливом, що дає можливість змінювати інформацію. Ну і нарешті, пристрій повинен дозволяти визначати його стан, тобто надавати у поза інформацію про свій стан.

Пристроєм, здатним запам'ятовувати, зберігати і дозволяє зчитувати інформацію, є тригер. Він був винайдений на початку XX століття Бонч-Бруєвич.

До тригерним прийнято відносити всі пристрої, що мають два стійких стану. В основі будь-якого тригера знаходиться кільце з двох інверторів, показане на ріс.12.1. Загальноприйнято це кільце зображати у вигляді так званої засувки, яка показана на рис.

Мал. Кільце з двох інверторів

Різноманітність тригерів дуже велике. Найбільш простий з них так званий RS-тригер, який збирається з двох вентилів. Зазвичай використовують вентилі АБО-НЕ або І-НЕ.

RS-тригер на вентилях АБО-НЕ

RS-тригер "запам'ятовує", на який його вхід подавався сигнал, що відповідає одиниці, в останній раз. Якщо сигнал був поданий на S-вхід, то тригер на виході постійно «повідомляє», що зберігає одиницю. Якщо сигнал, що відповідає одиниці, поданий на R-вхід, то тригер на виході має 0. Не дивлячись на те, що тригер має два виходи, мається на увазі вихід Q. (Q з межею завжди має протилежне Q значення.)

Іншими словами, вхід S (set) відповідає за установку тригера в 1, а вхід R (reset) - за установку тригера в 0. Установка проводиться сигналом, з високою напругою (відповідає одиниці). Просто все залежить від того, на який вхід він подається.

Велику частину часу на входи подається сигнал рівний 0 (низька напруга). При цьому тригер зберігає свій колишній стан.

Можливі такі ситуації:

• Q = 1, сигнал поданий на S, отже, Q не змінюється.
• Q = 0, сигнал поданий на S, отже, Q = 1.
• Q = 1, сигнал поданий на R, отже, Q = 0.
• Q = 0, сигнал поданий на R, отже, Q не змінюється.

Ситуація, при якій на обидва входи подаються поодинокі сигнали, неприпустима.

Як тригер зберігає стан? Припустимо, тригер видає на виході Q логічний 0. Тоді судячи за схемою, цей 0 повертається також і в верхній вентиль, де інвертується (виходить 1) і вже в цьому виді передається нижньому вентиля. Той в свою чергу знову інвертує сигнал (виходить 0), який і є на виході Q. Стан тригера зберігається, він зберігає 0.

Тепер, припустимо, був поданий одиничний сигнал на вхід S. Тепер в верхній вентиль входять два сигнали: 1 від S і 0 від Q. Оскільки вентиль виду АБО-НЕ, то на виході з нього виходить 0. Нуль йде на нижній вентиль, там інвертується (виходить 1). Сигнал на виході Q стає відповідним 1.

Т -тригер

Тригер типу Т називається тригером з рахунковим входом. Він змінює свій стан на протилежне кожен раз, коли на його вхід приходить черговий сигнал. Позначення тригера походить від першої літери англійського слова toggle - засувка.
Умовне графічне позначення Т -тригер показано на рис. Т -тригер має один вхід Т і два виходи Q і Õ. T - рахунковий вхід тригера.

Мал. Умовне графічне позначення T -тригер

Принцип роботи тригера ілюструє його таблиця істинності

Стан його виходу змінюється на протилежне при надходженні на вхід рахункового сигналу Т = 1 і зберігається незмінним при Т = 0. Відповідно до табл.12.5 характеристичне рівняння Т -тригер має вигляд:

Відповідно до цього рівняння Т -тригер зберігає незмінне стан при Т = 0, коли Q n + 1 = Q n і при Т = 1, коли Q n + 1 =

Т-тригер може бути реалізований введенням в RS - і D -тригер зворотних зв'язків (рис.)

Мал. Схеми T -тригер

JK -тригер

JK -тригер найбільш широко використовуваний універсальний тригер, що володіє характеристиками всіх інших типів тригерів. JK -тригер на відміну від RS -тригер не має заборонених комбінацій вхідних сигналів, які слід виключати при роботі цифрових систем.

На рис. показано умовне графічне позначення JK -тригер.

Мал. Умовне графічне позначення JK -тригер

Розглянемо табл., Яка ілюструє принципи роботи JK -тригер.

Таблиця істинності для JK -тригер

З табл. видно, що коли на обидва входи J і K подається рівень логічного 0, тригер блокується, і стану його виходів не змінюються. В цьому випадку тригер знаходиться в режимі зберігання.

Рядки 2 і 3 табл. описують режими, відповідні установки тригера в стан 0 і 1. Рядок 4 відповідає Переключательная режиму роботи JK -тригер. Якщо на обох входах J і K встановлений рівень логічної 1, то наступні один за одним тактові імпульси будуть викликати перекидання рівнів сигналів на виходах тригера від 1 до 0, від 0 до 1 і т.д. Така робота тригера нагадує послідовно вироблені перемикання тумблера, звідки і походить назва режиму.

Характеристичне рівняння JK -тригер має вигляд:

JK -тригер може бути реалізований з використанням двох елементів І і RS -тригер

Мал. Реалізація JK -тригер